मान लीजिए f: R to R,f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + | vedclass

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Question

(C) एक त्रिघात फलन $f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$ जिसका कोई चरम मान नहीं है,के लिए इसका अवकलज $f'(x) = 3ax^2 + 2bx + c$ अपना चिह्न नहीं बदलना चाहिए।इसक

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$(3a + 2b + c)c \ge 0$

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(C) एक त्रिघात फलन $f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$ जिसका कोई चरम मान नहीं है,के लिए इसका अवकलज $f'(x) = 3ax^2 + 2bx + c$ अपना चिह्न नहीं बदलना चाहिए।इसका अर्थ है कि $f'(x)$ सभी $x \in R$ के लिए या तो हमेशा $\ge 0$ होना चाहिए या हमेशा $\le 0$ होना चाहिए।यह इंगित करता है कि द्विघात व्यंजक $g(x) = 3ax^2 + 2bx + c$ चिह्न नहीं बदलता है।एक द्विघात समीकरण $g(x) = Ax^2 + Bx + C$ के लिए एक स्थिर चिह्न बनाए रखने हेतु,इसका विविक्तकर $D = B^2 - 4AC$ का मान $\le 0$ होना चाहिए।यहाँ,$D = (2b)^2 - 4(3a)(c) = 4b^2 - 12ac \le 0$,जो यह दर्शाता है कि $b^2 \le 3ac$ है।यदि $f'(x)$ चिह्न नहीं बदलता है,तो किसी भी $x_1, x_2 \in R$ के लिए $f'(x_1)$ और $f'(x_2)$ का चिह्न समान होना चाहिए।विशेष रूप से,$f'(1) = 3a + 2b + c$ और $f'(0) = c$ का चिह्न समान होना चाहिए या शून्य होना चाहिए।अतः,उनका गुणनफल अ-ऋणात्मक होना चाहिए: $(3a + 2b + c)c \ge 0$।

मान लीजिए $f: R \to R$,$f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$ का कोई चरम मान (extreme value) नहीं है। तो निम्नलिखित में से कौन सा हमेशा सही है?

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